Vielleicht ist es auch ein Defekt an der Lichtmaschine, dass die Batterie nicht mehr geladen wird. Das würde die leere Batterie trotz regelmäßiger Bewegung erklären. Das hatte ich mit einem anderen Auto einmal, da half auch das Nachladen der Batterie nur kurzzeitig und die von dir beschriebenen Symptome (Lichtorgel etc.) waren genau dieselben.
Grüße aus dem Süden
Das ist ja mehr als kurios. Mein Spider hat heute früh nämlich ähnlich "gesponnen": Am Schlüssel die Öffnentaste gedrückt: Nix, null Reaktion. Ich stand direkt neben dem Auto. Noch mehrfach versucht: Nix. Daraufhin den kleinen Taster am Türgriff gedrückt: Nix. So ging das ein paarmal. Dann auf einmal: Das Auto öffnet. Danach habe ich noch mehrere Male verriegelt und entriegelt. Alles wieder ganz normal. Sicherheitshalber habe ich danach die ca. 1-2 Jahre alte CR2025-Batterie des Schlüssels gewechselt. Aktuell verhält sich wieder alles ganz normal.
Da liegt was in der Luft - bei mir heute auch:
Spider ließ sich nicht öffnen. Schlüssel ganz nahe an die Tür gehalten, aber er verweigerte trotzdem. Mit dem Öffnungsknopf ließ er sich öffnen und dann war wieder alles normal: Starten, schließen und öffnen ganz ohne Knopferl.
Werde auch die Batterie wechseln.
Batterie gewechselt, aber der Schlüssel ist offensichtlich defekt. Der Test mit der kleinen roten Lampte neben dem Fiat Symbol funktioniert nicht. 
Mein Spider ist ja Baujahr 2017, und die Starterbatterie werde ich rein obligatorisch in den nächsten Wochen durch eine Neue ersetzen. Länger als 5-6 Jahre hält so was heutzutage ja leider nicht mehr.
Die Starterbatterie (meine anno 2017) mag ja an allem Möglichen "schuld" sein, sicher aber nicht an meinem defektem Schlüssel.
Meiner startet übrigens noch immer sofort auf den ersten Drücker.